límite de una función

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación:

La expresión anterior significa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a $a$ es igual a b.

Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^2-4x+5)= \ \color{red}\bm{?}$

Para ver a qué valor se aproxima la función cuando x tiende a 2, podemos ir calculando imágenes de la función de puntos cada vez más cerca de x=2:

limite de una funcion en un punto por la izquierda

limite de una funcion en un punto por la derecha

Como puedes ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando valores más próximos a x=2, la función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^2-4x+5)= \color{red}\bm{1}$

A continuación puedes ver la función representada gráficamente. Como puedes comprobar, la función se acerca a 1 cuando x se aproxima a 2.

Fíjate en la gráfica que la función se acerca al mismo valor independientemente de si nos acercamos por la izquierda o por la derecha. Más abajo profundizaremos más sobre este concepto de los límites.

Cómo calcular el límite de una función

Para calcular el límite de una función en un punto simplemente tenemos que sustituir el valor de ese punto en la función.

Por ejemplo, si queremos resolver el límite cuando x tiende a 3 de la siguiente función, debemos sustituir las x de la función por 3:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to \color{blue}\bm{3}\color{black}} \left(x^2+5x-7\right)=\\[3ex]=\color{blue}\bm{3}\color{black}^2+5\cdot \color{blue}\bm{3}\color{black}-7=\\[3ex]=9+15-7=17\end{array}$

Más ejemplos de cálculos de límites de funciones:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \left(4x-1 \right) = 4\cdot 1- 1 =\bm{3}$

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \left(x^2-3x +1\right) =(-2)^2-3(-2) + 1=\bm{11}$

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \cfrac{2x}{x-2} = \cfrac{2\cdot 3}{3-2}= \cfrac{6}{1} =\bm{6}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} e^x = e^0 =\bm{1}$

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \cfrac{x+1}{x-1} = \cfrac{-1+1}{-1-1}= \cfrac{0}{-2} =\bm{0}$

Límites laterales de una función

Una vez hemos visto la definición de límite de una función, vamos a analizar el concepto de límites laterales. Existen dos tipos de límites laterales: el límite lateral por la izquierda y el límite lateral por la derecha.

El límite lateral de la función por la izquierda se expresa con un signo menos en el punto donde se analiza el límite y, por otro lado, el límite lateral por la derecha se indica con el signo más.

Límite lateral por la izquierda

$\displaystyle\lim_{x\to a^{\color{orange}\bm{-}\color{black}}}f(x)$

Límite lateral por la derecha

$\displaystyle\lim_{x\to a^{\color{orange}\bm{+}\color{black}}}f(x)$

Fíjate en el siguiente ejemplo para entender mejor el significado de los límites laterales:

Como puedes ver en la representación gráfica de esta función definida a trozos, los límites laterales dependen del lado en el que se calculen.

En este caso, la función tiende a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, ya que la función toma valores cada vez más próximos a 3 cuando x se aproxima a x=2 por su izquierda.

En cambio, el límite lateral de la función en x=2 por la derecha vale 6. Porque si nos acercamos al punto x=2 desde su derecha, la función va tomando valores cada vez más cercanos a f(x)=6.

Límites laterales iguales

Acabamos de ver un ejemplo en el que los límites laterales de una función son distintos, pero… ¿qué pasa si los límites laterales son iguales?

Si los dos límites laterales de una función en un punto existen y son iguales, existe el límite de la función en dicho punto y el resultado del límite es el valor de los límites laterales.

Es decir, para que exista el límite de una función en un punto, se debe cumplir la siguiente condición:

$\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L \ \iff \ \lim_{x\to a}f(x)=L$

Por lo tanto, si los límites laterales de una función en un punto son diferentes, el límite de la función en ese punto no existe.

Vamos a resolver un ejemplo para acabar de comprender el concepto de límites laterales:

Los límites laterales en el punto x=-2 de la función representada gráficamente coinciden, ya que el valor de la función tiende a 3 indistintamente de si nos aceramos a x=-2 por la izquierda o por la derecha. En consecuencia, el límite de la función en x=-2 es igual a 3.

$\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^+}f(x)=3 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to -2}f(x)=3$

En cambio, en el punto x=4 los límites laterales son distintos, ya que por la izquierda la función se aproxima a f(x)=3 pero por la derecha la función se aproxima a f(x)=2. De modo que el límite de la función en este punto no existe.

$\displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=3 \neq \lim_{x\to 4^+}f(x)=2 \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ \lim_{x\to 4}f(x)$

Acabamos de ver cómo se determina el límite lateral de una función a partir de una gráfica, sin embargo, calcular un límite lateral de forma numérica es más complicado. Por eso te recomendamos que veas cómo se hace el cálculo de límites laterales

Cálculo de límites laterales

Vista la definición de los límites laterales, vamos a ver cómo se calculan numéricamente resolviendo el siguiente ejemplo:
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3}{x-2}$
Si calculamos el límite como siempre, obtenemos la indeterminación de un número real dividido entre 0:
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{2-2}=\frac{3}{0}=\infty$
Sin embargo, al hacer el cálculo de los límites laterales no obtenemos ninguna indeterminación.
$\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\ \color{red}\bm{?}\color{black} \qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{3}{x-2}=\ \color{red}\bm{?}$
Para calcular el límite lateral de la función por la izquierda en x=2, tenemos que coger un número menor que x=2 pero que sea muy próximo a él, por ejemplo x=1,999.
$\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{\color{red}\bm{1,999}\color{black}-2}$
En este caso, el denominador será un número negativo de valor muy pequeño pero que no llega a ser cero, y suele representarse con un cero y el signo menos delante:
$\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{1,999-2}=\frac{3}{\color{red}\bm{-0}\color{black}}$
Por lo tanto, el resultado del límite lateral es menos infinito, porque cualquier número dividido entre 0 da infinito y positivo entre negativo da negativo:
$\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{1,999-2}=\frac{3}{-0}=\color{red}\bm{-\infty}\color{black}$
Podemos comprobar que la función tiende a menos infinito calculando imágenes de la función con valores cada vez más cercanos a x=2 por la izquierda.
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(1,9)=\cfrac{3}{1,9-2}=-30\\[2ex]f(1,99)=\cfrac{3}{1,99-2}=-300\\[2ex]f(1,999)=\cfrac{3}{1,999-2}=-3000\\[2ex]f(1,9999)=\cfrac{3}{1,9999-2}=-30000\\[2ex]f(1,99999)=\cfrac{3}{1,99999-2}=-300000\end{array}\\[16ex]\vdots\\[1.5ex] f(2^-)=-\infty\end{array}$
Asimismo, para hallar el límite de la función en el punto x=2 por la derecha podemos aplicar el mismo razonamiento: cogemos un valor mayor que 2 pero muy cercano a él, como por ejemplo 2,001.
$\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{2,001-2}=\frac{3}{+0}=+\infty$
Del mismo modo, se puede verificar que la función tiende a más infinito calculando imágenes de la función con valores cada vez más cercanos a x=2 por la derecha.
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(2,1)=\cfrac{3}{2,1-2}=30\\[2ex]f(2,01)=\cfrac{3}{2,01-2}=300\\[2ex]f(2,001)=\cfrac{3}{2,001-2}=3000\\[2ex]f(2,0001)=\cfrac{3}{2,0001-2}=30000\\[2ex]f(2,00001)=\cfrac{3}{2,00001-2}=300000\end{array}\\[16ex]\vdots\\[1.5ex] f(2^+)=+\infty\end{array}$
En el siguiente gráfico puedes ver representada la función analizada. Como puedes apreciar, el límite lateral de la función en el punto x=2 por la izquierda es menos infinito, y el límite lateral de la función en el punto x=2 por la derecha es más infinito.

Ejercicios resueltos de límites laterales

Ejercicio 1

Halla los límites laterales de la siguiente función definida a trozos en los puntos donde cambia la definición (x=-2 y x=4).
Los límites laterales no coinciden en el punto x=-2, por la izquierda la función se va aproximando a f(x)=5 y, en cambio, por la derecha la función es constante y vale 3.
$\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=5$
$\displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=3$
Los límites laterales también son distintos cuando x tiende a 4. La función a trozos tiende a 3 por la izquierda, pero por la derecha tiende a -2.
$\displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=3$
$\displaystyle\lim_{x\to 4^+}f(x)=-2$

Límite de una función definida a trozos

El cálculo del límite de una función definida a trozos en un punto depende de si ese punto es el punto de ruptura o no:

Si se quiere calcular el límite de una función a trozos en un punto que no es el de ruptura, se hace el cálculo del límite en el trozo de la función que corresponde a ese punto.
Si se quiere calcular el límite de una función a trozos en el punto de ruptura, se deben calcular los límites laterales en el punto de ruptura:
- Si los dos límites laterales coinciden con el mismo valor, ese es el valor del límite de la función en el punto de ruptura.
- Si los dos límites laterales no coinciden, entonces el límite de la función en el punto de ruptura no existe.

Veamos un ejemplo para entender mejor cómo se calcula el límite de una función definida a trozos:

Calcula los límites en los puntos x=1 y x=3 de la siguiente función definida a trozos:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x+3 & \text{si} & x<3 \\[2ex] 2x & \text{si} & x\ge 3 \end{array} \right.$

Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, tenemos que usar la primera función, ya que x=1 pertenece al intervalo x<3. Por tanto:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \left(x+3 \right)=1+3 =\bm{4}$

Así que el límite de la función cuando x tiende a 1 es 4.

En cambio, x=3 es el punto de ruptura de la función. Porque en ese punto la función cambia de tramo.

Entonces, como x=3 es el punto de ruptura de la función, para hallar el límite de la función cuando x tiende a 3 debemos calcular sus límites laterales :

$\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} \left(x +3\right)=3+3= \bm{6}$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x)= \lim_{x \to 3} 2x = 2\cdot3= \bm{6}$

De modo que el límite de $f(x)$ cuando x tiende a 3 por la izquierda es 6. Y el límite de $f(x)$ cuando x tiende a 3 por la derecha también es 6. Por tanto, como los dos límites laterales son iguales, el límite de la función cuando x tiende a 3 es 6:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 6 \quad \bm{\longrightarrow} \quad \lim_{x \to 3} f(x) = \bm{6}$

Ahora veremos un ejemplo de cuando los límites laterales en el punto de ruptura no coinciden:

Calcula el límite cuando x tiende a 4 de la siguiente función definida a trozos:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x-1 & \text{si} & x\le4 \\[2ex] 2x^2 & \text{si} & x>4 \end{array} \right.$

x=4 es el punto de ruptura de la función, ya que en ese punto la función cambia de tramo. Por tanto, debemos calcular los dos límites laterales de la función en ese punto:

$\displaystyle \lim_{x \to 4^{-}} f(x) = \lim_{x \to 4}} \left(-x -1\right)=-4-1= \bm{-5}$

$\displaystyle \lim_{x \to 4^{+}} f(x)= \lim_{x \to 4}} 2x^2 = 2\cdot 4^2=\bm{32}$

De modo que el límite de $f(x)$ cuando x tiende a 4 por la izquierda es -5. Y el límite de $f(x)$ cuando x tiende a 5 por la derecha es 32. Por tanto, como los dos límites laterales no coinciden, el límite de la función cuando x tiende a 4 no existe:

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) \neq \lim_{x \to 4^+} f(x) \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \lim_{x \to 4} f(x)$

Límite de una función en el infinito

El límite de una función cuando x tiende a infinito, ya sea positivo o negativo, puede ser un valor real, más infinito, menos infinito o no existir.

Como puedes ver en el primer gráfico, la función representada tiende al valor real k al infinito, porque se va acercando a k a medida que x va creciendo. La función de arriba a la derecha tiende al más infinito cuando x tiende a infinito, ya que crece indefinidamente al aumentar de valor la x. En cambio, la gráfica de abajo a la izquierda decrece sin parar y por eso tiende a menos infinito. Finalmente, la última función es periódica y no tiende a ningún valor, por lo tanto, no existe el límite en el infinito en este caso.

Resolver este tipo de límites no es nada fácil, ya que se debe aplicar un procedimiento previo. E, incluso, dependiendo de cómo sea el límite en el infinito, este procedimiento varia. Para ver cómo se resuelven los límites en el infinito haz click en el siguiente enlace:

Para resolver un límite al infinito en funciones polinómicas, debemos sustituir la x por el infinito solamente en el término de mayor grado de la función.

Por ejemplo, fíjate en el siguiente cálculo de un límite al infinito donde únicamente sustituimos el infinito en el monomio de mayor grado:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}$

Como puedes ver en el ejemplo, +∞ elevado al cuadrado da +∞, ya que un número muy grande (+∞) elevado a la 2 seguirá dando como resultado un número muy grande (+∞).

Y sucede lo mismo con la multiplicación: si multiplicas un número muy grande (+∞) seguirá dando como resultado un número muy grande (+∞). Por ejemplo: $3\cdot (+\infty)= +\infty.$

Atención: para calcular límites en el infinito es importante que tengas en cuenta lo siguiente:

→ Un número negativo elevado a un exponente par da positivo. Por tanto, menos infinito elevado a un exponente par da más infinito:

$(-\infty)^2 = +\infty$

→ Un número negativo elevado a un exponente impar da negativo. Por tanto, menos infinito elevado a un exponente impar es menos infinito:

$(-\infty)^3 = -\infty$

→ La multiplicación de un número negativo cambia el signo del infinito:

$-2(+\infty) = - \infty$

→ Cualquier número dividido entre $\pm \infty$ da como resultado 0:

$\cfrac{5}{\infty} = 0$

Ejemplos de límites al infinito

Para que puedas ver cómo se resuelven los límites al infinito en polinomios, a continuación tienes resueltos varios límites de este tipo:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}$

Límites al infinito indeterminados

Los límites en el infinito no siempre serán tan fáciles de calcular, ya que en ocasiones obtendremos la indeterminación infinito entre infinito o la indeterminación infinito menos infinito.

$\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty$

Cuando obtenemos estos tipos de indeterminaciones (o formas indeterminadas) no podemos saber el resultado directamente, sino que debemos hacer un procedimiento previo para hallar el valor de límite. A continuación vamos a ver cómo se resuelven los límites indeterminados al infinito.

Indeterminación infinito entre infinito

Para hallar el resultado de la indeterminación infinito dividido entre infinito tenemos que comparar el grado del numerador y el grado denominador de la fracción:

Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, la indeterminación infinto partido por infinito es igual a cero.
Si el grado del polinomio del numerador es equivalente al grado del polinomio del denominador, la indeterminación infinito sobre infinito es el cociente de los coeficientes principales de los dos polinomios.
Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, la indeterminación infinito entre infinto da más o menos infinito (el signo depende de los términos principales de ambos polinomios).

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex] \cfrac{a_n}{b_n} & \text{si} & r=s \\[5ex] \pm \infty & \text{si} & r>s \end{array}\right.$

Por ejemplo, en el siguiente límite, el polinomio del numerador es de segundo grado, mientras que el polinomio del denominador es de tercer grado, por lo tanto, la solución del límite es 0.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Fíjate en este otro ejemplo, en el que los dos polinomios de la función racional son de segundo grado, por lo que tenemos que dividir los coeficientes de los términos de mayor grado para calcular el límite en el infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}$

Finalmente, en el siguiente límite la función del numerador tiene mayor grado que la del denominador, por lo que la indeterminación infinito sobre infinito da infinito. Además, del numerador se obtiene un infinito positivo, pero del denominador un infinito negativo, así que el resultado del límite es negativo (positivo entre negativo da negativo).

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Indeterminación infinito entre infinito con raíces

Por otro lado, el grado de una función irracional (función con raíces) es el cociente entre el grado del término principal y el índice del radical.

$\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}$

Por lo tanto, si el límite de una función con raíces da la indeterminación infinito entre infinito, tenemos que aplicar las mismas reglas explicadas arriba de los grados del numerador y del denominador, pero teniendo en cuenta que el grado de un polinomio con raíces se calcula diferente.

Fíjate en el siguiente ejemplo del límite al infinito de una función con radicales:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

El grado del numerador es 2, y el grado del denominador es 4 (8/2=4), por lo tanto, el límite da 0 porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Indeterminación infinito entre infinito con funciones exponenciales

El crecimiento de una función exponencial es mucho más grande que el crecimiento de una función polinómica, así que debemos considerar que el grado de una función exponencial es mayor que el grado de una función polinómica.

$\text{exponencial}>\text{polinomio}$

Por lo tanto, si la indeterminación infinito partido por infinito resulta de un límite con funciones exponenciales, simplemente debemos aplicar las mismas reglas explicas de los grados del numerador y del denominador, pero teniendo en cuenta que una función exponencial es de mayor orden que un polinomio.

Además, si tenemos funciones exponenciales en el numerador y en el denominador de la división, la función exponencial cuya base sea más grande será la que tendrá mayor orden.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

En este ejemplo, el denominador está formado por una función exponencial, por lo que es de mayor orden que el numerador. En consecuencia, la forma indeterminada infinito entre infinito da 0.

Indeterminación infinito menos infinito

La resolución de la indeterminación infinito menos infinito depende de si la función tiene fracciones o raíces. Así que vamos a ver cómo solucionar este tipo de indeterminación para estos dos casos distintos.

Indeterminación infinito menos infinito con fracciones

Cuando la indeterminación infinito menos infinito se produce en una suma o resta de fracciones algebraicas, primero tenemos que hacer la suma o la resta de las fracciones y luego calcular el límite.

Veamos cómo calcular la indeterminación infinito menos infinito en una función con fracciones resolviendo un ejemplo paso a paso:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)$

Primero intentamos calcular el límite:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}$

Pero obtenemos la indeterminación ∞-∞.

De modo que primero debemos hacer la resta de las fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a común denominador, esto es, multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por el denominador de la otra:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}$

Y ahora que las dos fracciones tienen el mismo denominador, las podemos juntar en una sola fracción:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}$

Operamos en el numerador y en el denominador:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}$

Y finalmente volvemos a calcular el límite:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

En este caso la indeterminación infinito entre infinito da +∞ porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Indeterminación infinito menos infinito con raíces

Cuando la indeterminación infinito menos infinito se produce en una suma o resta de radicales, primero tenemos que multiplicar y dividir la función por la expresión radical conjugada y luego resolver el límite.

Vamos a ver cómo solucionar la indeterminación infinito menos infinito en una función irracional haciendo un ejemplo paso a paso:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)$

Primero intentamos resolver el límite de la función con radicales:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}$

Sin embargo, obtenemos la forma indeterminada ∞-∞. Así que para saber cuánto es la indeterminación infinito menos infinito debemos aplicar el procedimiento explicado.

Como la función tiene radicales, multiplicamos y dividimos toda la función por la expresión irracional conjugada:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

La expresión algebraica del numerador corresponde a la identidad notable del producto de una suma por una diferencia, por lo tanto, podemos simplificar la expresión:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}$

Ahora simplificamos la raíz del límite, ya que está elevada al cuadrado:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

Operamos en el numerador de la fracción:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

Y, por último, volvemos a hacer el cálculo del límite:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}$

De manera que el resultado del límite es 0, porque cualquier número dividido entre infinito es igual a cero.

Ejercicios resueltos de límites al infinito

Ejercicio 1

Encuentra los siguientes límites de la función representada gráficamente:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$

limites al infinito a partir de la representacion de una funcion

Ver solución

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$

Ejercicio 2

Resuelve el límite cuando x tiende a más infinito de la siguiente función:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}$

Ejercicio 3

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función polinómica:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

Ejercicio 4

Resuelve el límite al menos infinito de la siguiente función polinómica:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}$

Ejercicio 5

Halla el límite en el infinito de la siguiente función racional:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}$

Ejercicio 6

Resuelve el siguiente límite en el infinito:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}$

Ejercicio 7

Calcula el límite de la siguiente función cuando x tiende a menos infinito:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

Ejercicio 8

Encuentra el límite de la siguiente función exponencial cuando x tiende a más infinito:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}$

Ejercicio 9

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función exponencial:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}$

Ejercicio 10

Resuelve el siguiente límite al infinito:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}$

Ejercicio 11

Soluciona el siguiente límite indeterminado:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}$

Ejercicio 12

Calcula el siguiente límite al menos infinito:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Ejercicio 13

Resuelve el siguiente límite indeterminado de una función con raíces:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

Ejercicio 14

Determina el límite al infinito de la siguiente función con fracciones:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}$

Ejercicio 15

Halla el límite al menos infinito de la siguiente función:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}$

Ejercicio 16

Resuelve el límite al menos infinito de la siguiente función:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Ejercicio 17

Soluciona el siguiente límite al infinito:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}$

Ver solución

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}$

Ejercicio 18

Calcula el límite al infinito de la siguiente función con una raíz cuadrada:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}$

Ejercicio 19

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función con dos radicales:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Ejercicio 20

Calcula el siguiente límite:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}$

Ver solución

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Ejercicio 21

Determina el límite al infinito de la siguiente función racional:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)$

Ver solución

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}$

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

Ejercicio 22

Soluciona el límite de la siguiente función fraccionaria cuando x tiende a 0:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)$

Ver solución

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}$

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}$

Límites indeterminados

Las indeterminaciones, también llamadas formas indeterminadas, son expresiones matemáticas que aparecen en el cálculo de límites de funciones cuyo resultado no está definido.

Los diferentes tipos de indeterminaciones son las siguientes:

Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)
Indeterminación número entre cero (k/∞)
Indeterminación cero entre cero (0/0)
Indeterminación infinito entre infinito (∞/∞)
Indeterminación 1 elevado a infinito (1∞)
Indeterminación cero elevado a cero (00)
Indeterminación cero por infinito (0·∞)
Indeterminación cero elevado a infinito (0∞)
Indeterminación infinito elevado a cero (∞0)

Es decir, cuando en el cálculo de un límite obtenemos una indeterminación de las anteriores, no significa que el límite no exista o que no se pueda resolver, sino que tendremos que hacer alguna modificación a la función para poder hallar la solución del límite.

En el siguiente enlace puedes ver la explicación de cómo resolver todos los tipos de indeterminaciones:

https://www.funciones.xyz/indeterminaciones-tipos-limites-indeterminados/

límite de una función

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Cómo calcular el límite de una función

Límites laterales de una función

Límites laterales iguales

Cálculo de límites laterales

Ejercicios resueltos de límites laterales

Ejercicio 1

Límite de una función definida a trozos

Límite de una función en el infinito

Ejemplos de límites al infinito

Límites al infinito indeterminados

Indeterminación infinito entre infinito

Indeterminación infinito entre infinito con raíces

Indeterminación infinito entre infinito con funciones exponenciales

Indeterminación infinito menos infinito

Indeterminación infinito menos infinito con fracciones

Indeterminación infinito menos infinito con raíces

Ejercicios resueltos de límites al infinito

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Límites indeterminados

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