Distancia de una recta a un plano en el espacio

 


Distancia de una recta a un plano en el espacio

En geometría analítica, la distancia entre una recta y un plano en el espacio depende de la posición relativa entre estos dos elementos geométricos:

  • Si la recta está incluida en el plano o si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ellos es nula.
  • Si la recta es paralela al plano, la distancia de la recta al plano se halla tomando cualquier punto de la recta y calculando la distancia que hay desde ese punto hasta el plano.
distancia de una recta a un plano en el espacio

Por lo tanto, para poder calcular la distancia de una recta a un plano es imprescindible que sepas cómo se determina la posición relativa entre una recta y un plano y cómo calcular la distancia entre un punto y un plano. Así que si no lo tienes del todo claro o no sabes las fórmulas te recomendamos que primero le eches un vistazo a las páginas enlazadas, donde encontrarás las explicaciones, ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Ejemplo de cómo calcular la distancia entre una recta y un plano

Para que puedas ver cómo hallar la distancia entre una recta y un plano en el espacio (en R3), vamos a resolver un problema a modo de ejemplo:

  • ¿Cuál es la distancia de la recta r al plano \pi?

\displaystyle r: \ \begin{cases}x=-2+t \\[1.7ex] y=1-3t \\[1.7ex] z=-1+2t\end{cases}

\pi : \ 4x+2y+z-6=0

Para encontrar la distancia entre la recta y el plano, primero debemos averiguar la posición relativa entre ambos.

Por un lado, la recta está definida en forma de ecuaciones paramétricas, por lo tanto, su vector director y un punto por el que pasa son:

\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}_r =(1,-3,2) \\[2ex] P(-2,1,-1) \end{cases}

Y, por otro lado, el vector normal al plano es:

\vv{n} =(4,2,1)

Entonces, para determinar la posición relativa entre el plano y la recta, tenemos que calcular el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal al plano:

\begin{aligned} \vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n} & = (1,-3,2) \cdot (4,2,1) \\[2ex] & = 1 \cdot 4-3 \cdot 2 +2\cdot 1 \\[2ex] &= 4 -6 +2 \\[2ex] & = 0\end{aligned}

El resultado del producto escalar es igual a cero, de modo que la recta solo puede estar contenida en el plano o ser paralela a él. Así pues, para averiguar de qué caso se trata, sustituimos las coordenadas cartesianas del punto de la recta en la ecuación del plano:

4x+2y+z-6=0 \ \xrightarrow{P(-2,1,-1)} \ 4\cdot (-2) +2\cdot 1 -1-6= 0

-8+2-1-6 = 0

-13 \neq 0

Al sustituir el punto de la recta en la ecuación del plano obtenemos una desigualdad, por lo tanto, el punto no cumple con la ecuación del plano y, en consecuencia, la recta y el plano son paralelos.

Una vez sabemos que la recta y el plano son paralelos, ya podemos calcular la distancia geométrica entre ellos. Para ello, cogemos el punto de la recta y calculamos la distancia que hay desde ese punto hasta el plano.

P(-2,1,-1) \qquad \qquad \pi: \ 4x+2y+z-6=0

Así pues, utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Ahora sustituimos el valor de cada incógnita en la fórmula:

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 4\cdot (-2)+2\cdot 1+1\cdot (-1)-6\rvert}{\sqrt{4^2+2^2+1^2}}

Y, finalmente, hacemos las operaciones:

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -8+2-1-6\rvert}{\sqrt{16+4+1}}

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -13\rvert}{\sqrt{21}}

d(P,\pi) = \cfrac{13}{\sqrt{21}}

De manera que la distancia entre la recta y el plano es equivalente a la distancia entre el punto y el plano calculada:

\bm{d(r,\pi)=d(P,\pi) = }\cfrac{\bm{13}}{\bm{\sqrt{21}}}

Evidentemente, la distancia siempre nos debe dar de valor positivo, porque las distancias siempre son positivas. Si obtenemos un resultado negativo significa que nos hemos equivocado al hacer algún paso.

FacebookTwitterEmailWhatsAppLinkedInGoogle ClassroomCompartir

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

UNIDAD 3 "LA DERIVADA"

Imagen
  Derivada de una función La derivada de una  función matemática  es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x. En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma: En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero. Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido. Debemos precisar que el límite de una función se define como la tendencia ...
Leer más

LA HIPÉRBOLA

Imagen
  LA HIPÉRBOLA ¿Qué es una hipérbola? La hipérbola es el conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, permanece constante. Dicho conjunto de puntos forma la curva con dos ramas que se observa en la figura 1. Allí se muestra un punto P(x,y), los focos F 1  y F 2  separados una distancia igual a 2c. La forma matemática de expresar esta relación es a través de: Figura 1. Hipérbola con eje focal horizontal. Fuente: F. Zapata. Todos los puntos de la hipérbola satisfacen esta condición, la cual conduce a la ecuación de la hipérbola, como se verá más adelante. Al punto medio entre los focos se le llama el centro C y en la figura coincide con el punto (0,0), pero la hipérbola también puede estar desplazada y su centro corresponder a otro punto de coordenadas C (h,k). En la figura superior, el eje x es el eje focal de la hipérbola, ya que allí se encuentran los focos, pero se puede construir tamb...
Leer más

LA PARÁBOLA

Imagen
  ¿Qué es una parábola? La parábola es un concepto que tiene significados muy distintos, pero su definición matemática es la siguiente: En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz). Por lo tanto, cualquier punto de una parábola esta a la misma distancia de su foco y de su directriz. Además, en geometría la parábola es una de las secciones cónicas junto a la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Es decir, una parábola se puede obtener a partir de un cono. En particular, la parábola es el resultado de cortar un cono con un plano con un ángulo de inclinación respecto al eje de revolución equivalente al ángulo de la generatriz del cono. En consecuencia, el plano que contiene la parábola es paralelo a la generatriz del cono. Elementos de una parábola Las características de una parábola dependen de los siguientes elementos: Foco (F) : es un punto fijo del interior ...
Leer más